درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر و ساختار یک گروه متناهی

در مرجع ‎[‎5‎]‎‏، مارک لویس سوال زیر را مطرح کرد: اگر گروه متناهی ‎g‎‎ دارای دقیقا چهار درجه کاراکتر تحویل ناپذیر بصورت ‎1 ‎m, ‎n,mn‎, باشد که در آن ‎‎ ‎(m ,‎ n‎ ) =1‏،‎ در اینصورت آیا طول مشتق گروه ‎g‎‎ حداکثر برابر ‎‎‎‎3‎‎ است‏؟ در مرجع ‎[‎10‎]‎‏، جفری ریدل‏، یک خانواده از گروههای متناهی ‎‎ h‎ (‎ q‎,e, ‎n)‎ ‎‎ ساخت بطوریکه گروه ‎‎ h‎ (3,3,2) ‎‎‎ دقیقا دارای چهار درجه کاراکتر تحویل ناپذیر ‎‎‎‎1‎‎‎‏، ‎‎‎‎3‎‎‎‏، ‏‎‎‎‎13‎‎ و ‎‎‎‎‎39‎است در حالیکه طول مشتق این گروه نیز ‎4‎ است. بنابراین جواب سوال لویس منفی است. اما این سوال مطرح می شود که آیا مثال نقض جفری ریدل‏، مثال نقض منحصربفرد است. در این پایان نامه، به این سوال مطرح شد‏ه تا حدودی جواب مثبت می دهیم و ثابت می کنیم که قضیه‎ a‎ :‎‎‎‎ ‎اگر‎ ‎g‎‎ یک گروه متناهی باشد بطوریکه ‎‎ cd (g) =‎ ‎{1,m,n,mn} ‎که در آن ‎ ‎‎‎‎‎‎‎‎‎m,n > 1‎‎‎ و ‎‎ ‎(m ,‎ n‎ ) =1‎‎‎‎‏،‎ آنگاه ‎‎‎‎g‎‎ یک گروه حلپذیر است. بعلاوه‏، طول مشتق گروه ‎‎‎‎g‎‎ حداکثر برابر ‎‎‎‎3‎‎ است مگر اینکه ‎cd (g) =‎ {1,3,13,39} در‎‎‎ این پایان نامه‏ که براساس مرجع ‎[9]‎‏ تهیه و تنظیم شده است، گروه ‎‎g‎‎‎‏،‎‎‎‎‎ یک گروه متناهی است و ‎irr ‎ (g)‎ ‎‎ مجموعه تمام کاراکترهای تحویل ناپذیر ‎‎‎‎g‎‎ است و ‎ cd (g)‎ ‎ مجموعه تمام درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر ‎g‎‎ است. همچنین در این پایان نامه‏، ثابت خواهیم کرد که ‎قضیه‎‎‎‎b‎‎ : ‎‎فرض کنیم ‎‎‎‎m, n‎> ‎1‎‎‎ اعداد صحیح دلخواه و ‎‎‎‎g‎ یک گروه متناهی با cd (g)‎= ‎{1,m,n,mn} در اینصورت ‎g حلپذیر است و یکی از گزاره های زیر برقرار است:‎ ‎‎)1(‎ طول‎‎ مشتق گروه g حداکثر ‎‎‎‎3‎‎ است. ‎ (2) ‎cd (g) =‎ { ‎1, ‎3, ‎13, ‎39 } ‎‎‎‎‎‎‎)3(‎‎عدد اول ‎‎‎‎p‎‎ وجود دارد بطوریکه cd (g) = { ‎1‎ , ‎p^(r_1 ) ,‎p^(r_2 ) ,‎p^(r_1+r_2 )}‎‎‎‎‎‎‎